Спектральный анализ и его приложения к обработке сигналов в реальном времени

Страница: 12/16

, ,

,

Экспериментальные результаты приведены в соответствующем разделе.

1.4.5. Градиентный адаптивный авторегрессионный метод

1.4.6. Рекурсивный авторегрессионный метод наименьших квадратов

1.5. Спектральное оценивание на основе моделей авторегрессии - скользящего среднего .

Модель авторегресии-скользящего среднего имеет больше степеней свободы, чем авторегрессионная модель, поэтому следует ожидать, что получаемые с ее помощью оценки спектральной плотности мощности будут обладать большими возможностями для передачи формы различных спектров. Основой спектрального оценивания при помощи модели авторегрессии-скользящего среднего является аппроксимация СС-процесса авторегрессионной моделью высокого порядка. Пусть

- системная функция СС(q)-процесса

-системная функция АР-процесса,

эквивалентного этому СС(q)-процессу, то есть

Применим обратное z-преобразование к обеим частям последнего равенства, используя теорему об обратном преобразовании произведения функций, получим:

причем

Таким образом, СС-параметры можно определить по параметрам некоторой эквивалентной авторегрессионной модели посредством решения произвольной подсистемы из q уравнений. Используя АР-оценки высокого порядка можно записать следующую систему уравнений :

В идеальном случае ошибка должна быть равна нулю при всех значениях m, за исключением m=0, однако на практике при использовании конечной записи данных эта ошибка не будет равна нулю, поэтому оценки для CC-параметров должны определятся посредством минимизации дисперсии квадрата ошибки:

Из структуры уравнения для оценок параметров скользящего среднего видно, что эти оценки можно найти, решив соответствующие нормальные уравнения (здесь используется либо «Оценивание корреляционной функции - метод Юла-Уалкера», либо

«Оценивание линейного предсказания по методу наименьших квадратов»)

Общая процедура раздельного оценивания авторегрессионных параметров и параметров скользящего среднего заключается в следующем. Этап первый - определение авторегрессионных параметров по исходным данным, после этого исходную последовательность данных необходимо подвергнуть фильтрации для получения временного ряда приближенно соответствующего некоторому СС-процессу (этап второй). Этот фильтр имеет системную функцию вида :

, где - оценки

авторегрессионных параметров, определенные с помощью метода наименьших квадратов. Системная функция процесса авторегресии-скользящего среднего равна , поэтому

Таким образом, пропуская запись измеренных данных через фильтр с системной функцией , получаем на его выходе аппроксимирующий процесс скользящего среднего. Этап третий : для оценивания СС-параметров применяется процедура, описанная в начале этого раздела. Оценка спектральной плотности мощности АРСС-процесса имеет вид :

, где

- оценка автокорреляции, полученная по фильтрованной последовательности

Экспериментальные результаты приведены в соответствующем разделе.

.

1.6. Спектральное оценивание по методу минимума дисперсии.

Оценка спектральной плотности мощности по методу минимума дисперсии не является

истинной функцией СПМ, поскольку площадь под графиком МД-оценки не характеризует полную мощность измеряемого процесса. Обратное преобразование Фурье, соответствующее МД-оценке, также не совпадает с автокорреляционной последовательностью. Таким образом, МД-оценку можно считать спектральной оценкой в том смысле, что она описывает относительные интенсивности компонент частотного спектра, но не является оценкой истинной СПМ. Минимальная дисперсия - это характеристика, которая более информативна вблизи начала координат оценки. Она получается посредством минимизации дисперсии процесса на выходе узкополосного фильтра, частотная характеристика которого адаптируется к спектральным компонентам входного процесса на каждой представляющей интерес частоте.

Реферат опубликован: 18/12/2006