Страница: 2/6
|
|
и, соответственно,
|
|
(11)
С учетом (9) находим, что максимальное отношение сигнал/помеха
|
|
достигается при
|
|
(12)
где Fs*(jw) - комплексно-сопряженный сигнал.
Таким образом фильтр с комплексно - частотной характеристикой, определяемой формулой (12), является наилучшим в классе линейных фильтров, а при гауссовских помехах также наилучшим образцом и в классе нелинейных фильтров.
Из выражения (12) следует, что коэффициент передачи фильтра зависит от отношения спектральной плотности сигнала к спектральной плотности мощности помехи: коэффициент передачи тем больше, чем больше это отношение. Таким образом, оптимальный фильтр избирательно пропускает те или иные частотные составляющие. Очевидно, что отношение сигнал/помеха будет тем больше, чем сильнее отличается спектр сигнала от спектра помехи.
Рассмотрим случай, когда помеха представляет собой белый шум со спектральной плотностью мощности N0/2. В этом случае комплексно - частотная характеристика оптимального фильтра
|
|
(13)
|
|
а соотношение сигнал/помеха
(14)
где Е - энергия сигнала.
Фильтр с характеристикой (13), оптимальный для помехи типа белого шума называется согласованным.
Максимальное отношение сигнал/помеха (14) на выходе такого фильтра определяется только энергией сигнала и спектральной плотностью мощности помехи и не зависит от формы сигнала. По значению это отношение совпадает с максимальным отношением сигнал/ помеха на выходе корреляционного приемника. Отсюда, в частности, следует, что в условиях действия помехи типа белого шума помехоустойчивость корреляционного приемника и согласованного фильтра одинаковы.
Рассмотрим более подробно комплексно - частотную спектральную плотность полезного сигнала в виде
|
|
где |Fs(jw)| и j(w) - амплитудный и фазовый спектр сигнала соответственно.
Тогда
|
(15) |
|
|
С другой стороны,
|
|
(16)
где |K(jw)| - амплитудно-частотная характеристика фильтра; Y(w) - фазовая характеристика фильтра.
Сравнивая (15) и (16) находим
|
|
(17)
(18)
Из (17) следует, что амплитудно частотная характеристика согласованного фильтра с точностью до постоянной совпадает с амплитудным спектром сигнала.
Фазовая характеристика согласованного фильтра определяется двумя слагаемыми. Первое из них - j(w) равно фазовому спектру сигнала, взятому с противоположным знаком. Назначение его в том чтобы компенсировать фазовые сдвиги различных составляющих сигнала. В результате в некоторый момент времени t=t0 все составляющие выходного сигнала будут совпадать по фазе и, складываясь, давать максимум выходного сигнала. Если бы фазовая характеристика фильтра не компенсировала фазовые сдвиги составляющих сигнала, то максимумы гармонических составляющих сигнала не совпадали бы во времени, а это привело бы к уменьшению выходного напряжения.
Реферат опубликован: 8/02/2008