Страница: 2/11
Первым этапом любого асимметричного алгоритма является создание пары ключей : открытого и закрытого и распространение открытого ключа "по всему миру". Для алгоритма RSA этап создания ключей состоит из следующих операций :
Выбираются два простых (!) числа p и q
Вычисляется их произведение n(=p*q)
Выбирается произвольное число e (e<n), такое, что НОД(e,(p-1)(q-1))=1, то есть e должно быть взаимно простым с числом (p-1)(q-1).
Методом Евклида решается в целых числах (!) уравнение e*d+(p-1)(q-1)*y=1. Здесь неизвестными являются переменные d и y – метод Евклида как раз и находит множество пар (d,y), каждая из которых является решением уравнения в целых числах.
Два числа (e,n) – публикуются как открытый ключ.
Число d хранится в строжайшем секрете – это и есть закрытый ключ, который позволит читать все послания, зашифрованные с помощью пары чисел (e,n).
Как же производится собственно шифрование с помощью этих чисел :
Отправитель разбивает свое сообщение на блоки, равные k=[log2(n)] бит, где квадратные скобки обозначают взятие целой части от дробного числа.
Подобный блок, как Вы знаете, может быть интерпретирован как число из диапазона (0;2k-1). Для каждого такого числа (назовем его mi) вычисляется выражение ci=((mi)e)mod n. Блоки ci и есть зашифрованное сообщение, и
их можно спокойно передавать по открытому каналу, поскольку операция возведения в степень по модулю простого числа, является необратимой математической задачей. Обратная ей задача носит название "логарифмирование в конечном поле" и является на несколько порядков более сложной задачей. То есть даже если злоумышленник знает числа e и n, то по ci прочесть исходные сообщения mi он не может никак, кроме как полным перебором mi.
А вот на приемной стороне процесс дешифрования все же возможен, и поможет нам в этом хранимое в секрете число d. Достаточно давно была доказана теорема Эйлера, частный случай которой утвержает, что если число n представимо в виде двух простых чисел p и q, то для любого x имеет место равенство (x(p-1)(q-1))mod n = 1. Для дешифрования RSA-сообщений воспользуемся этой формулой.
Возведем обе ее части в степень (-y) : (x(-y)(p-1)(q-1))mod n = 1(-y) = 1.
Теперь умножим обе ее части на x : (x(-y)(p-1)(q-1)+1)mod n = 1*x = x.
А теперь вспомним как мы создавали открытый и закрытый ключи. Мы подбирали с помощью алгоритма Евклида d такое, что e*d+(p-1)(q-1)*y=1, то есть e*d=(-y)(p-1)(q-1)+1. А следовательно в последнем выражении предыдущего абзаца мы можем заменить показатель степени на число (e*d). Получаем (xe*d)mod n = x. То есть для того чтобы прочесть сообщение ci=((mi)e)mod n достаточно возвести его в степень d по модулю m :
((ci)d)mod n = ((mi)e*d)mod n = mi.
На самом деле операции возведения в степень больших чисел достаточно трудоемки для современных процессоров, даже если они производятся по оптимизированным по времени алгоритмам. Поэтому обычно весь текст сообщения кодируется обычным блочным шифром (намного более быстрым), но с использованием ключа сеанса, а вот сам ключ сеанса шифруется как раз асимметричным алгоритмом с помощью открытого ключа получателя и помещается в начало файла.
Криптографы со своей стороны вели поиски более эффективных систем открытого шифрования и в 1985 году Т.Эль-Гамаль (США) предложил следующую схему на основе возведения в степень по модулю большого простого числа P. Задается большое простое число P и целое число A, 1 < A < P. Сообщения представляются целыми числами M из интервала 1 < M < P.
Протокол передачи сообщения M выглядит следующим образом.
абоненты знают числа A и P;
абоненты генерируют независимо друг от друга случайные числа:
Ka, Kb
удовлетворяющих условию:
1 < K < P
получатель вычисляет и передаёт отправителю число B, определяемое последовательностью:
В = A Kb mоd(P)
отправитель шифрует сообщение M и отправляет полученную последовательность получателю
C = M * B Ka mоd(P)
получатель расшифровывает полученное сообщение
D = ( A Ka ) -Kb mоd(P)
M = C * D mоd(P)
В этой системе открытого шифрования та же степень защиты, что для алгоритма RSA с модулем N из 200 знаков, достигается уже при модуле P из 150 знаков. Это позволяет в 5-7 раз увеличить скорость обработки информации. Однако, в таком варианте открытого шифрования нет подтверждения подлинности сообщений.
Для того, чтобы обеспечить при открытом шифровании по модулю простого числа P также и процедуру подтверждения подлинности отправителя Т.ЭльГамаль предложил следующий протокол передачи подписанного сообщения M:
Реферат опубликован: 8/03/2008