Страница: 3/6
Если отлично от нуля лишь m элементов, а именно эта ситуация имеет место для сеточных эллиптических уравнений, то на реализацию итерационного шага потребуется 2Mm-M действий т.е. число действий пропорционально числу неизвестных M.
Запишем теперь метод Зейделя в матричной форме. Для этого представим матрицу A в виде суммы диагональной, нижней треугольной и верхней треугольной матриц :
A = D + L + U
где
|
|
|
|
|
0 0 . . . 0 0 a12 a13 . . . a1M
a21 0 0 0 a23 . . . a2M
a31 a32 0 0 .
L = . U= .
. .
. aM-1M
aM1 aM2 . . . aMM-1 0 0 0
И матрица D - диагональная.
(k) (k) (k)
Обозначим через Yk = ( Y1 ,Y2 . YM ) вектор k-ого итерационного шага. Пользуясь этими обозначениями запишем метод Зейделя иначе :
( D + L )Yk+1 + UYk = f , k=0,1 .
Приведём эту итерационную схему к каноническому виду двухслойных схем :
( D + L )(Yk+1 - Yk) +AYk = f , k=0,1 .
Мы рассмотрели так называемый точечный или скалярный метод Зейделя, анологично строится блочный или векторный метод Зейделя для случая когда aii - есть квадратные матрицы, вообще говоря, различной размерности, а aij для i<>j - прямоугольные матрицы. В этом случае Yi и fi есть векторы, размерность которых соответствует размерности матрицы aii.
ПОСТРОЕНИЕ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ
Пусть Yi=Y(i) сеточная функция дискретного аргумента i. Значения сеточной функции Y(i) в свою очередь образуют дискретное множество. На этом множестве можно определять сеточную функцию, приравнивая которую к нулю получаем уравнение относительно сеточной функции Y(i) - сеточное уравнение. Специальным случаем сеточного уравнения является разностное уравнение.
Сеточное уравнение получается при аппроксимации на сетке интегральных и дифференциальных уравнений.
Так дифференциальное уравнение первого порядка :
dU = f(x) , x > 0
dx
можно заменить разностным уравнением первого порядка :
Yi+1 - Yi = f(xi) , xi = ih, i=0,1 .
h
или Yi+1=Yi+hf(x), где h - шаг сетки v={xi=ih, i=0,1,2 .}. Искомой функцией является сеточная функция Yi=Y(i).
При разностной аппроксимации уравнения второго поряда
2
d U = f(x)
2
dx
получим разностное уравнение второго порядка :
2
Yi+1 - 2Yi + Yi+1 = yi , где yi=h f i
fi = f(xi)
xi = ih
Для разностной aппроксимации производных U’, U’’, U’’’ можно пользоваться шаблонами с большим числом узлов. Это приводит к разностным уравнениям более высокого порядка.
Анологично определяется разностное уравнение относительно сеточной функции Uij = U(i,j) двух дискретных аргументов . Например пятиточечная разностная схема “крест” для уравнения Пуассона
Uxx + Uyy = f(x,y)
на сетке W выглядит следующим образом :
Ui-1j - 2Uij+Ui+1j + Uij-1 - 2Uij+Uij+1 = fij
2 2
hx hy
где hx - шаг сетки по X
hy - шаг сетки по Y
Сеточное уравнение общего вида можно записать так:
N
CijUj = fi i=0,1 .N
j=0
Оно содержит все значения U0, U1 . UN сеточной функции. Его можно трактовать как рзностное уравнение порядка N равного числу узлов сетки минус единица.
В общем случае под i - можно понимать не только индекс , но и мультииндекс т.е. вектор i = (i1 . ip) с целочисленными компонентами и тогда :
Реферат опубликован: 12/08/2006