Исследования cогласованного фильтра

Цель работы - ознакомление с принципом действия согласованного фильтра и исследование его помехоустойчивости.

Задание по работе

1. Проработать теоретический материал по источникам [1,2] и данным методическим указаниям.

2. Изучить функциональную схему лабораторной установки.

3. Выполнить работу.

4. Ответить на контрольные вопросы.

Основные теоретические положения

Из теории оптимальных методов радиоприема известно, что в условиях действия гауссовской помехи типа белого шума оптимальный приемник должен вычислять интеграл вида

(1)

где N0 - односторонняя спектральная плотность шума ; Т - длительность сигнала; u(t) - принятый сигнал; s(t) - полезный сигнал;

Интеграл (1) можно рассматривать как меру взаимной корреляции принятого сигнала u(t) и полезного сигнала s(t) сигналов. Чтобы осуществить реализацию выражения (1), используют корреляционный приемник. С другой стороны, интеграл (1) можно рассматривать как свертку сигнала u(t) с импульсной характеристикой некоторого фильтра. В этом случае необходимо использовать согласованный фильтр.

Рассмотрим задачу синтеза оптимального фильтра в условиях действия аддитивной помехи.

Пусть принятый сигнал имеет вид

(2)

где s(t) - полезный сигнал известной формы со спектральной плотностью Fs(jw); n(t)стационарный случайный процесс со спектральной плотностью мощности Fn(w).

Будем отыскивать оптимальный фильтр в классе линейных фильтров. Тогда сигнал на входе фильтра с учетом принципа суперпозиции можно представить как

(3)

Найдем отношение р мощности полезного сигнала к мощности помехи на выходе фильтра в некоторый момент времени t0.

(4)

где K(jw) - комплексно-частная характеристика фильтра.

Соответственно в момент времени t0

(5)

Мощность помехи на выходе фильтра

(6)

В формулах (4) и (6) через Fs,вых(jw) и Fn,вых(w) обозначены спектральная плотность полезного сигнала и спектральная плотность мощности помехи на выходе фильтра.

С учетом (5) и (6) выражение для р в момент времени t0 запишется как

(7)

Понятно, что чем больше величина р, тем выше помехоустойчивость приема. Поэтому определим фильтр, который обеспечивал бы на выходе максимальное соотношение сигнал/помеха.

Воспользуемся неравенством Буняковского - Шварца

(8)

справедливым для любых функций А(w) и В(w), для которых интегралы в (8) имеют смысл. Заметим, что неравенство (8) превращается в строгое равенство, если

(9)

где а- постоянная; В* (w) - функция, комплексно-сопряженная с функцией В(w). С учетом (8) можно записать

(10)

и, соответственно,

(11)

С учетом (9) находим, что максимальное отношение сигнал/помеха